フーリエ解析学(2007年度後期)

2007/10/4

問題

f(x)=x2(πxπ) について,次のものを求めよ.

  1. a0=1πππf(x)dx
  2. bn=1πππf(x)sinnxdx
  3. an=1πππf(x)cosnxdx n が偶数のとき)
  4. an n が奇数のとき)
  5. f(x) のフーリエ級数展開
解答
  1. f(x) は偶関数だから, a0=π20πx2dx
    (解答) 2π23
  2. f(x)sinnx は奇関数だから, bn=1πππx2sinnxdx=0
    (解答) 0
  3. f(x)cosnx は偶関数であり,部分積分を施すと, an=2πππx2cosnxdx=2π0πx2(1nsinnx)dx=2nπ0πxsinnxdx となる.
    ここで再び部分積分を施すと, an=2nπ0πx(1ncosnx)dx=2nπ([xncosnx]0π+1n0πcosnxdx) となる.
    n は偶数だから, [xncosnx]0π=0 である.よって, an=0 を得る.
    (解答) 0
  4. 前問の計算において, n が奇数のときは, [xncosnx]0π=πn である.
    (解答) 2n2
  5. f(x)=a02+n=1(ancosnx+bnsinnx) である.
    (解答) π232cosx29cos3x225cos5x

2007/10/11

問題

f(x)=x(0xL) について,次の問いに答えよ.

  1. 奇関数として <x< に拡張された f(x) のグラフを描け.
  2. 0Lf(x)sinnπxLdx を計算せよ.
  3. f(x) をフーリエ正弦級数に展開せよ.
解答