場合の数と確率(高校数学A・数学B・数学C)

順列と組み合わせ(高校数学A)

n,r,p,qは正の整数とする.

二項定理・多項定理(高校数学A)

a,b,cは実数,n,p,q,rは正の整数とする.

確率の基本(高校数学A・数学C)

重心に偏りがない1枚のコインを投げるとき,表がでるか裏がでるかは偶然に支配され,それを事前に予測することはできない.しかし,表か裏がでることは同じ程度に期待できる.たくさん回数をこなしたときの収束値も0.5である.この場合,表と裏がでることはそれぞれ同じ程度に期待でき,これらの事象を同様に確からしいと言う.

何度も繰り返し同じ条件でできる事柄を試行,試行の結果起こる事柄を事象と言う.個々の事象(これ以上分けても意味がないもの;例えば,サイコロを投げて1の目がでる事象は,これ以上分けようがない)を根元事象,起こり得る全ての事象を標本空間(全事象)と言う.全事象をU,その中の事象をA,起こり得る数をそれぞれn(U),n(A)とすると,事象Aの起こる確率P(A)は $\frac{n(A)}{n(U)}$ である.また,事象Aが起こらない事象を,事象Aの余事象と言い,P(A)で表し,この場合,P(A)=1-P(A)である.さらに,あり得ない事象を空事象と言い,φで表す.

事象Aと事象Bが同時に起こる事象をP(A∩B),事象Aと事象Bの少なくともどちらか一方の事象が起こる事象をP(A∪B)と表す.事象Bが起こることが事象Aの起こる確率に影響を及ばさない場合,事象Aと事象Bは独立であり,P(A∩B)=P(A)P(B)が成立する.そうでないとき,事象Aと事象Bは従属であり,事象Aが起こったときに事象Bが起こる確率を,事象Aが起こったときに事象Bが起こる条件付き確率と言い,PA(B)で表す.

事象Aと事象Bが同時に起こることがあり得ない場合,事象Aと事象Bは互いに排反であると言う.

独立と排反は混同しやすいので整理する.

重心に偏りのないコインを2回投げるとき,1回目が表であろうと裏であろうと(事象A),2回目に表(裏)がでる確率は0.5(事象B)である.このとき,事象Aと事象Bは独立である.

一方,コインを1回投げたとき,表がでる事象をA,裏がでる事象をBとすると,表と裏が両方でることはないから,事象Aと事象Bが同時に起こることはない.このとき,事象Aと事象Bは排反である.

n,rはn>rなる正の整数,A,Bを事象とする.

確率分布(高校数学A・数学B・数学C)

ある試行で,その特性を示す値の生起する確率が定まる場合,この特性を示す変数Xを確率変数と言い,確率変数がとる全ての値に対する確率を網羅したものを確率分布と言う.

a,b,c,p,xnは実数,n,rは正の整数,X,Yは確率変数とする.