微分方程式論(2007年度前期)

2007/4/16

問題1

y=y2 の一般解を求めよ.

解答1

dydx=y2 を変数分離形にすると, dyy2=dx+C となる.ここで, dyy2=1y,dx=x より, 1y=x+C である.

(解答) y=1Cx

問題2

xy=y21 の一般解を求めよ.

解答2

問題1と同様にして変数分離形にすると, dyy21=xdx+C となる.
1y21 を有理関数展開すると 12(1y11y+1) となることを用いて, dyy21=12log|y+1y1| xdx=x22 より, log|y1y+1|=x2C である.
自然対数の底を e とすると, ex2C=y1y+1 となる.左辺は ex2eC と考えて, eC を改めて C とおくと, Cex2=y1y+1 となる.

(解答) y=Cex21Cex1

問題3
y=3y23 において,
  1. 一般解を求めよ.
  2. x=0 のとき y(0)=0 となるものを求めよ(初期値問題).
解答3
  1. 問題1と同様にして変数分離形にすると, y23dy=3dx となる.ここで, y23dy=3y13 3dx=3x より, 3y13=3x+C である.
    (解答) y=(x+C)3
  2. 前問にて x=y=0 となるから, C=0 である.
    (解答) y=x3

2007/4/23

問題1

y=x+yx の一般解を求めよ.

解答1

yx=u とおくと, dydx=u+xdudx である.これを与式に代入して整理すると, dudx=1x となる.この両辺を x で積分して u=log|x|+C を得る.

(解答) y=x(log|x|+C)

問題2

(1x1y)dx+x1y2dy=0 において,

  1. 微分方程式が完全であることを示せ.
  2. 一般解を求めよ.
解答2
  1. P(x,y)=1x1y Q(x,y)=x1y2 とおく.ここで, u(x,y)=P(x,y)dx+Q(x,y)dy=log|x|xy+C となる.
    du(x,y)=uxdx+uydy=(1x1y)dx+x1y2dy となるから, du(x,y)=P(x,y)dx+Q(x,y)dy となる C1 級関数 u(x,y) が存在する.
    ゆえに題意は証明された.(証明終)
  2. 前問の結果より, log|x|xy+C=0 である.これを計算して整理する.
    (解答) y=xlog|x|C

2007/5/7

問題1

ベルヌーイの微分方程式 y=xy+x2y3 の一般解を求めよ.

解答1
問題2

y+ky=Esinx の一般解を求めよ.ただし, k , E は定数とする.

解答2

2007/5/14

問題1

y+y6y=0 の一般解を求めよ.

解答1

与式は2階の線形微分方程式で定数係数斉次だから,特性方程式 t2+t6=0 を解くと, t=2,3 となる.

(解答) y=C1e2x+C2e3x

問題2

xy+2y+xy=0 y1=sinxx が与えられている. y2 を求めよ.

解答2

2007/5/21

問題1
y+y6y=0 において,
  1. 初期条件 y(0)=1,y(0)=0 の解を求めよ.
  2. 初期条件 y(0)=0,y(0)=1 の解を求めよ.
解答1

与式は2階の線形微分方程式で定数係数斉次だから,特性方程式 t2+t6=0 を解くと, t=2,3 となる.

よって,一般解は y=C1e2x+C2e3x であり, y=2C1e2x3C2e3x である.

  1. y(0)=1 から C1+C2=1 となる.また, y(0)=0 から 2C13C2=0 となる.この連立方程式を解くと, C1=35,C2=25 である.
    (解答) y=35e2x+25e3x
  2. 前問と同様にして連立方程式を解くと, C1=15,C2=15 である.
    (解答) y=15e2x-15e3x
問題2
y+y+6y=0 において,
  1. 初期条件 y(0)=1,y(0)=0 の解を求めよ.
  2. 初期条件 y(0)=0,y(0)=1 の解を求めよ.
解答2

前問と同様にして特性方程式 t2+t+6=0 を解くと, t=12±232i である.ここで,簡単のため α=232 とおく.
一般解は y=e12x(C1cosαx+C2sinαx) であり, y=e12x(αC2sinαxαC1sinαx)12e12x(C1cosαxC2sinαx) である.
なお, cosα0,e0 に注意する.

  1. 連立方程式を解くと, C1=1ecosα,C2=123cosα である.
    (解答) y=e12x(xe+tan232x23)
  2. 連立方程式を解くと, C1=0,C2=1α である.
    (解答) y=e12x(223sin232x)
問題3
y+6y+9y=0 において,
  1. 初期条件 y(0)=1,y(0)=0 の解を求めよ.
  2. 初期条件 y(0)=0,y(0)=1 の解を求めよ.
解答3

前問と同様にして特性方程式 t2+6t+9=0 を解くと, t=3 (重解)である.

よって,一般解は y=(C1x+C2)e3x であり, y=(C13C1x3C2)e3x である.

  1. 連立方程式を解くと, C1=3,C2=1 である.
    (解答) y=(3x+1)e3x
  2. 連立方程式を解くと, C1=1,C2=0 である.
    (解答) y=xe3x

2007/5/28

問題

次の微分方程式の一般解を求めよ(オイラー・コーシーの微分方程式).

  1. x2y4xy+6y=0
  2. xy+2y=0
  3. x2yxy+2y=0
解答

y=xm とおくと, y=mxm1,y=m(m1)xm2 であり,それぞれの左辺にこれらを代入する.なお, xm0,xm10 に注意する.

  1. 代入して xm で割って整理すると, m25m+6=0 が得られる.これを解くと, m=2,3 である.
    (解答) y=c1x2+c2x3
  2. 代入して xm1 で割って整理すると, m2+m=0 が得られる.これを解くと, m=0,1 である.
    (解答) y=c1+c2x
  3. 代入して xm で割って整理すると, m22m+2=0 が得られる.これを解くと, m=1±i である.
    (解答) y=c1x1+i+c2x1i

2007/6/11

問題

y+6y+9y=0 において,

  1. 基底解 y1,y2 を求めよ.
  2. ロンスキー行列式 W[y1,y2](x) を計算せよ.
  3. 初期条件 y(0)=1,y(0)=0 の解 (1+3x)e3x および,初期条件 y(0)=0,y(0)=1 の解 xe3x を用いて,初期条件 y(0)=10,y(0)=20 の解を求めよ.
解答
  1. 特性方程式 t2+6t+9=0 を解くと, t=3 (重解)である.よって,基底は λ=3
    (解答) y1=e3x,y2=xe3x
  2. 前問の結果より, y1=3e3x,y2=(13x)e3x であり,ロンスキー行列式は |y1y2y1y2| で表される.
    (解答) e3x(e3x3xe3x+3x)
  3. {y(0)=1y(0)=0(1)y(0)=0y(0)=1(2) について,(1)式を10倍したものと(2)式を20倍したものを加算すれば, y(0)=10,y(0)=20 となる.
    このときの解は 10(1+3x)e3x+20e3x である.
    (解答) 10e3x(3x+11)

2007/6/18

問題

次の微分方程式の一般解を求めよ.

  1. y6y+9y=x2
  2. y+2y=x+2sinx
解答

2007/6/25

問題1

y+6y+12y+8y=0 の一般解を求めよ.

解答1
問題2

yy2y=ex において,

  1. p.114(2)式を用いて特殊解を求めよ.
  2. 一般解を求めよ.
解答2

2007/7/2

問題

A=(1124) とする.

  1. A の固有値と固有ベクトルを求めよ.
  2. 連立微分方程式 {y1=y1y2y2=2y1+4y2 の一般解を求めよ.
  3. 初期条件 y1(0)=1,y2(0)=3 を満たす解を求めよ.
解答
  1. trA=5,det=6 より,固有方程式 λ25λ+6=0 が成立する.これを解いて, λ=2,3
    λ=2 のとき, (1124)(a1a2)=2(a1a2) から,固有ベクトルは (11) となる.
    同様にして, λ=3 のとき, (1124)(a1a2)=3(a1a2) から,固有ベクトルは (12) となる.
    (解答) 固有値 2 のとき固有ベクトル (11) ,固有値 3 のとき固有ベクトル (12)
  2. 前問の結果より, P=(1112) とおくと, P1AP=(2003) であるから, A=P(2003)P1 と表せる.
    一方,連立微分方程式は ddx(y1y2)=A(y1y2) と表せる. y1=y,y2=dydx と変換変換すると, y=c1(11)e2t+c2(12)e3t となる.
    (解答) y1=C1e2t+C2e3t,y2=C1e2t2C2e3t
  3. 前問の式をそれぞれ両辺 x で積分すると, y1=C12e2t+C23e3t,y2=C12e2t23C2e3t となる.
    問題文より x=0,y1=1,y2=3 だから,これらを代入して連立方程式を解くと, C1=10,C2=12
    (解答) y1=5e2t4e3t,y2=5e2t+8e3t

2007/7/9

問題
  1. 連立微分方程式 {y1=y2y2=9y1 の解を求めよ.
  2. 臨界点はどこか.
  3. 相図を描き,臨界点のタイプをいえ.
解答