確率と統計(2006年度前期)

2006/4/17

問題1

次の表で事象 $A$ , $B$ が独立なのはどの場合か.

$P(A)$ $P(B)$ $P(A\cupB)$
場合1 0.1 0.9 0.91
場合2 0.4 0.6 0.76
場合3 0.5 0.3 0.73
解答1

$P(A)P(B)=P(A\cap B)$ であれば独立である.ここで, $P(A\cap B)=P(A)+P(B)-P(A\cup B)$ である.

  1. $P(A)P(B)=P(A\cup B)=0.09$ である.
  2. $P(A)P(B)=P(A\cup B)=0.24$ である.
  3. $P(A)P(B)=0.15$ だが, $P(A\cup B)=0.07$ より, $P(A)P(B)\neq P(A\cup B)$ である.

(解答)場合1・場合2

問題2

ある怠け者の先生は天候により休講・遅刻・正常の3つの割合が異なる.晴れの日は,休講0.1,遅刻0.1,正常0.8である.曇りの日は休講0.1,遅刻0.2,正常0.7である.雨の日は休講0.5,遅刻0.3,正常0.2である.晴れ・曇り・雨の割合がそれぞれ0.5,0.3,0.2であるとき,次の確率を計算せよ.

  1. 休講だった日が晴れである
  2. 正常だった日が雨である
解答2

天候が晴れ・曇り・雨である事象をそれぞれ $A$ , $B$ , $C$ ,講義が休講・遅刻・正常である事象をそれぞれ $D$ , $E$ , $F$ とする.このときの同時確率分布を示した表は次の通りである.

休講 遅刻 正常
$P(D)$ $P(E)$ $P(F)$ 1.0
晴れ $P(D\cap A)$ $P(E\cap A)$ $P(F\cap A)$ $P(A)$
曇り $P(D\cap B)$ $P(E\cap B)$ $P(F\cap B)$ $P(B)$
$P(D\cap C)$ $P(E\cap C)$ $P(F\cap C)$ $P(C)$

問題文より, $P(A)=0.5$ , $P(B)=0.3$ , $P(C)=0.2$ である.

  1. 求める条件付き確率は $P_{D}(A)=\frac{P(D\cap A)}{P(D)}$ である.ここで,休講になる事象と天気が晴れである事象は独立であるから, $P(B\cap A)=P(B)P(A)=0.05$ となる.また,天候に関わらず休講になる確率は $P(D)=P(D)P(A)+P(D)P(B)+P(D)P(C)=0.18$ である.
    (解答) $\frac{5}{18}$
  2. 前問と同様にして,求める条件付き確率は $P_{F}(C)=\frac{P(F\cap C)}{P(F)}$ である.
    (解答) $\frac{4}{65}$

2006/4/24

問題1

当たりくじ5本を含む20本のくじの中から,まず,A君が1本引き,次に残りの19本の中からB君が1本引く.次の確率を求めよ.

  1. A君が当たる確率
  2. A君とB君が当たる確率
  3. A君がはずれてB君が当たる確率
  4. B君が当たる確率
解答1

A君が当たる事象を $A$ ,B君が当たる事象を $B$ とする.これらの事象は独立ではない.

  1. 20本の中に5本の当たりくじがある.
    (解答) $\frac{1}{4}$
  2. 当たりが4本とはずれが19本なので $P_{A}(B)=\frac{1}{4}\cdot\frac{4}{19}$ となる.
    (解答) $\frac{1}{19}$
  3. A君は20本ある内のはずれ15本を,B君は19本ある内の当たり5本を引くので,求める確率は $P_{\overline{A}}(B)=\frac{3}{4}\cdot\frac{5}{19}$ である.
    (解答) $\frac{15}{76}$
  4. 前問と違い,求める確率にA君の当たり外れが関係しないことに注意する.求める確率は $P(B)=P_{A}(B)+P_{\overline{A}}(B)$ となる.
    (解答) $\frac{1}{4}$
問題2

事象 $A$ , $B$ , $C$ に対して $P(A)>0$ であるとき,次の等式を証明せよ.

$P_{A}(B\cup C)=P_{A}(B)+P_{A}(C)-P_{A}(B\cap C)$

解答2

条件付き確率の定義より, (左辺) $=\frac{P(A\cap (B\cup C))}{P(A)}=\frac{P((A\cap B)\cup(A\cap C))}{P(A)}=\frac{P(A\cap B)+P(A\cap C)-P(A\cap (B\cap C))}{P(A)}$ $=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}+\frac{P(A\cap C)}{P(A)}+\frac{P(A\cap (B\cap C))}{P(A)}=P_{A}(B)+P_{A}(C)-P_{A}(B\cap C)=$ (右辺) (証明終)

2006/5/1

問題1

ポケットにお金がないという事象を $B$ ,その原因を

  • $A_{1}$ :電車ですりに遭った( $P(A_{1})=25%$ ).
  • $A_{2}$ :ポケットが破れていた( $P(A_{2})=5%$ ).
  • $A_{3}$ :家を出る時に忘れていった( $P(A_{3})=70%$ ).

とする. $P_{A_{1}}(B)=35%$ , $P_{A_{2}}(B)=15%$ , $P_{A_{3}}(B)=50%$ のとき, $P_{B}(A_{1})$ , $P_{B}(A_{2})$ , $P_{B}(A_{3})$ を求めよ.

解答1

ベイズの定理より, $P_{B}(A_{1})=\frac{P(A_{1})P_{A_{1}}(B)}{P(A_{1})P_{A_{1}}(B)+P(A_{2})P_{A_{2}}(B)+P(A_{3})P_{A_{3}}(B)}=\frac{0.25\cdot 0.35}{0.25\cdot 0.35+0.05\cdot 0.15+0.7\cdot 0.5}\approx 0.20$ である.同様にして $P_{B}(A_{2})$ と $P_{B}(A_{3})$ を求める.
(解答) $P_{B}(A_{1})\approx 0.20$ , $P_{B}(A_{2})\approx 0.02$ , $P_{B}(A_{3})\approx 0.78$

問題2

A氏は同じ系列会社5銘柄の株式を保有している.市場の先行きは不景気模様で,1ヶ月後には全ての銘柄の株価が0.6の確率で下がり,0.4の確率で上がると予想されている.この事象は2項分布 $B(5,0.6)$ に従うと考えて,次の確率を計算せよ.

  1. 3銘柄の株価が上昇して,2銘柄の株価が下落する.
  2. 4銘柄以上の株価が上昇する.
解答2

上昇する銘柄数を $X$ とし,独立事象の反復試行の公式を用いる.

  1. $P(X=3)=_{5}\mathrm{C}_{3}\left(\frac{2}{5}\right)^{3}\left(\frac{3}{5}\right)^{2}$ を計算する.
    (解答) 0.23
  2. $P(X=4)+P(X=5)$ を計算する.
    (解答) 0.087

2006/5/8

問題1

確率変数 $X$ が $\mu=85$ , $\sigma^{2}=16$ の正規分布をするとき,次のものを求めよ.

    1. $P(X<81)$
    2. $P(X<92)$
    3. $P(81<X<92)$
  1. $P(76<X<84)$
  2. $P(X>a)=0.20$ を満たす $a$
解答1

$Z=\frac{X-\mu}{\sigma}$ とおくと,確率変数 $Z$ は標準正規分布 $N(0,1)$ に従う.ここで, $\sigma>0$ より $\sigma=4$ である.適宜,正規分布表を用いる.

    1. (与式) $=P(Z<-1)$
      (解答)0.1587
    2. (与式) $=P\left(Z<\frac{7}{4}\right)=1-P\left(Z>\frac{7}{4}\right)=1-0.0401$
      (解答)0.9599
    3. (与式) $=1-P(X<81)-P(X<92)=1-0.1989$
      (解答)0.8012
  1. (与式) $=P\left(-\frac{9}{4}<Z<-\frac{1}{4}\right)=P(Z<0)-P\left(Z<-\frac{9}{4}\right)-P\left(-\frac{1}{4}<Z<0\right)=0.5-0.0112-0.4013$
    (解答)0.3891
  2. $P(Z>0.84)=0.20$ から, $a=4\cdot 0.84+85$ となる.
    (解答)88.36
問題2

高速道路での料金所における車の停止時間は指数分布に従い,待ち時間の期待値(平均)は37秒である.このとき,料金所で1分以上待たされる確率を求めよ.

ヒント:期待値を $\alpha$ とおくと,求める確率は $\int_{1}^{\infty}\frac{1}{\alpha}e^{-\frac{x}{\alpha}}\,dx$ で計算できる.

解答2

指数分布の期待値は $E(X)=\int_{0}^{\infty}\frac{x}{\alpha}e^{-\frac{x}{\alpha}}\,dx=\alpha$ で表される.問題文より, $\alpha=\frac{37}{60}$ である.ヒントに従って計算すると, $\int_{1}^{\infty}\frac{1}{\alpha}e^{-\frac{x}{\alpha}}\,dx=e^{-\frac{1}{\alpha}}$ となる.


(解答) 0.1975

2006/5/15

問題1

$X$ が正規分布 $N(3,4^{2})$ に従い, $Y$ が正規分布 $N(4,3^{2})$ に従う独立な事象である.次の確率を求めよ.

  1. $P(X+Y\le 4)$
  2. $P(4\le X+Y\le 7)$
解答1

$3+4=7$ , $4^{2}+3^{2}=5^{2}$ である.正規分布の再生性より, $X+Y$ は正規分布 $N(7,5^{2})$ に従う.

よって, $Z=\frac{(X+Y)-7}{5}$ とおくと, $Z$ は標準正規分布に従う.

  1. (与式) $=P\left(Z\le -\frac{3}{5}\right)$
    (解答) 0.2743
  2. (与式) $=P\left(-\frac{3}{5}\le Z\le 0\right)=0.5-0.2743$
    (解答) 0.2257
問題2

$X$ は自由度14の $\chi^{2}$ 分布, $Y$ は自由度20の $\chi^{2}$ 分布に従う独立な確率変数である.このとき, $P(X+Y\ge\alpha)=0.05$ となる $\alpha$ を求めよ.

解答2

$\chi^{2}$ 分布の再生性より, $X+Y$ は自由度34の $\chi^{2}$ 分布に従う.あとは, $\chi^{2}$ 分布表を参照すれば良い.


(解答) 48.60

2006/5/22

問題

銘柄A,B,Cのオプション予測収益率[%]は来年の冬の寒さに左右されるものとする.冬の寒さを「暖冬」・「平年並み」・「厳冬」がそれぞれ $\frac{1}{3}$ の予測確率のもとで変動すると考え,次の表を作成した.

表1
銘柄 暖冬 平年並み 厳冬 平均 分散
A-410219104.04
B97572.56
C67870.67
表2
銘柄 ポートフォリオ 暖冬 平年並み 厳冬 平均 分散
C1.0C67870.67
D0.2A+0.8B6.47.68.27.40.56

予測確率について,「暖冬」と「平年並み」は $\frac{2}{5}$ ,「厳冬」を $\frac{1}{5}$ に変えたとき,次の表を作成せよ.

  1. 新しい予想確率に基づいた表1
  2. 新しい予想確率に基づいたポートフォリオE:0.3A+0.7Bの表2
解答
  1. Aの平均は $(-4)\cdot\frac{2}{5}+10\cdot\frac{2}{5}+21\cdot\frac{1}{5}=6.6$ ,分散は $(-4)^{2}\cdot\frac{2}{5}+10^{2}\cdot\frac{2}{5}+21^{2}\cdot\frac{1}{5}-(6.6)^{2}=91.04$ である.BとCも同様にして求める.

    (解答)
    銘柄 暖冬 平年並み 厳冬 平均 分散
    A-410216.691.04
    B9757.42.24
    C6786.80.56
  2. 「暖冬」の時のオプション予想収益率は $(-4)\cdot 0.3+9\cdot 0.7=5.1$ である.「平年並み」・「厳冬」も同様にして求め,前問と同様に平均と分散を計算する.
    (解答)

    銘柄 ポートフォリオ 暖冬 平年並み 厳冬 平均 分散
    E0.3A+0.7B5.17.99.87.163.3104

2006/5/29

問題
168.3 146.6 143.6 154.2 152.0 151.3 150.0 152.7 151.1
156.4 157.9 153.7 146.5 154.0 155.8 153.3 154.4 148.0
151.2 157.3 154.0 150.5 153.2 154.4 160.5 159.0 150.8
151.0 146.9 160.5 148.2 153.7 149.3 151.7 154.7 151.4

次の問いに答えよ.

  1. 最大値と最小値を求めよ.
  2. 範囲を求めよ.
  3. 階級数( $\sqrt{n}$ とする)と階級幅を求めよ.
  4. 度数分布表とヒストグラムを描け.
  5. 標本平均 $x$ と標本分散 $v^{2}$ を求めよ.
解答
  1. (解答)最大値:168.3 最小値:143.6
  2. 範囲は最大値から最小値を引いたものである.
    (解答)24.7
  3. データの個数は $n=36$ より階級数は6である.階級幅は範囲を階級数で割ったものである.
    (解答)階級数:6 階級幅:4.12
  4. (解答)
    度数分布表とヒストグラムの図
  5. データをそれぞれ $x_{1},x_{2},\cdots,x_{36}$ とすると, $\overline{x}=\frac{1}{36}\sum_{i=1}^{36}x_{i}$ , $v^{2}=\frac{1}{36}\sum_{i=1}^{36}(x_{i}-\overline{x})^{2}$ である.
    (解答) $\overline{x}\approx 153.0$ , $v^{2}\approx 22.16$

2006/6/12

問題

正規分布 $N(\mu,0.025)$ に従う母集団について,次の問いに答えよ.

  1. 大きさ64の無作為標本において,その標本平均が $\overline{x}=12.03$ であった.母平均 $\mu$ の95%の信頼区間を求めよ.
  2. 確率0.9で推定誤差を0.1以下にするためには,標本数を最低いくつ以上にすれば良いか.
解答

母集団の標準偏差は $\sigma =0.025\approx 0.15$ である.

  1. 母集団は正規分布に従い,母分散は既知である.正規分布の再生性より,標本平均の従う分布は $N\left(\mu,\frac{\sigma^{2}}{n}\right)$ となる.
    よって, $Z=\frac{\overline{x}-\mu}{\sqrt{\frac{\sigma^{2}}{n}}}$ は標準正規分布に従う確率変数である.ここで,95%=0.95より信頼係数は $\alpha=1-0.95=0.05$ であり,
    $z_{\frac{\alpha}{2}}$ を標準正規分布の上側 $z_{\frac{\alpha}{2}}$ -点とすると, $z_{\frac{\alpha}{2}}=1.96$ となる.求める信頼区間は $\left[\overline{x}-z_{\frac{\alpha}{2}}\frac{\sigma}{\sqrt{n}},\overline{x}+z_{\frac{\alpha}{2}}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right]$ で表され,問題文より $n=64$ .
    (解答) $[11.99,12.07]$
  2. 確率0.9より信頼係数は $\alpha=1-0.9=0.1$ であり, $z_{\frac{\alpha}{2}}$ を標準正規分布の上側 $\frac{\alpha}{2}$ -点とすると, $z_{\frac{\alpha}{2}}=1.6449$ となる.
    信頼区間の幅が0.1より小さくなるためには,データの数 $n$ が不等式 $z_{\frac{\alpha}{2}}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\le 0.1$ を満たせば良い.
    この式を解くと $n\ge 6.763052224$ となるが,データの個数は整数であることに注意する.
    (解答) 7個以上

2006/6/19

問題

金属板の一辺の長さを8回測って,次の値を得た.

19.0 20.0 20.2 19.9 20.7 20.2 19.4 20.5

  1. 真の長さを90%と95%の信頼度でそれぞれ推定せよ.
  2. 母分散の90%と95%の信頼区間をそれぞれ求めよ.
解答

この場合は母分散が未知である.それぞれのデータを $x_{1},x_{2},\cdots,x_{8}$ とし,データ数は $n=8$ である.
標本平均は $\overline{x}=19.9875$ であり,データの2乗和は $s=\sum_{i=1}^{n}(x_{i}-\overline{x})^{2}\approx 0.273593749$ ,標本不偏分散は $v=\frac{s}{n-1}\approx 0.039084821$ と計算される.

  1. 母平均の信頼係数 $1-\alpha$ の信頼区間は, $\left[\overline{x}-t\left(n-1;\frac{\alpha}{2}\right)\sqrt{\frac{v}{n}},\overline{x}+t\left( n-1;\frac{\alpha}{2}\right) \sqrt{\frac{v}{n}} \right]$ で表される.90%=0.9,10%=0.1である.
    $\alpha$ は90%のとき0.1,95%のとき0.05となる.
    (解答) 90%: $[19.86,20.12]$ 95%: $[19.82,20.15]$
  2. 母分散の信頼係数 $1-\alpha$ の信頼区間は $\left[\frac{s}{\chi^{2}\left(n-1;\frac{\alpha}{2}\right)},\frac{s}{\chi^{2}\left(n-1;1-\frac{\alpha}{2}\right)}\right]$ である.
    (解答) 90%: $[0.1555,1.0098]$ 95%: $[0.1366,1.2951]$

2006/6/26

問題1

確率と統計の試験における過去10年間の平均は60.2点,標準偏差は13.5点であり,今年の学生100人の平均的は65点だった.今年の学生は例年に比べて優秀と言えるか,有意水準5%で検定せよ.

解答1

標準偏差が既知なので分散も既知と言える.よって,過去10年間の平均点は正規分布 $N(\mu_{0},\sigma^{2})=N(60.2,13.5^{2})$ に従う.

データ数は $n=100$ ,標本平均は $\overline{x}=65$ である.

帰無仮説 $H_{0}$ : $\mu=\mu_{0}$ vs対立仮説 $H_{1}$ : $\mu>\mu_{0}$ の検定を行うにあたり,検定統計量の実現値を計算すると, $\mu_{0}=\frac{\sqrt{n}(\overline{x}-\mu_{0})}{\sigma}\approx 3.56$ を得る.

$Z=\frac{\sqrt{n}(\overline{X}-\mu_{0})}{\sigma}$ は標準正規分布に従う確率変数で, $P(Z\ge\mu_{0})=0.0002<5%$ より,帰無仮説は棄却される.
(解答) 今年の学生は例年に比べて優秀である

問題2

ある溶液の中に含まれているアルコールの割合[%]を10回測定した結果,次のデータを得た.

12.3 13.0 11.8 12.7 12.6 13.4 11.9 12.4 11.6 12.3

次の問いに答えよ.

  1. 標本平均と不偏分散を計算せよ.
  2. 母平均の95%信頼区間を求めよ.
  3. 仮説 $H_{0}$ : $\mu=12$ を検定せよ(危険度5%).
解答2

母集団の分散は未知である.

  1. 標本平均を $\overline{x}$ ,不偏分散を $v$ とする.
    (解答) 標本平均:12.4 不偏分散:0.307
  2. データ数は $n=10$ である.
    (解答) $[12.01,12.79]$
  3. 帰無仮説 $H_{0}$ : $\mu=\mu_{0}$ vs対立仮説 $H_{1}$ : $\mu\neq\mu_{0}$ の検定を行うにあたり,両側t検定により検定統計量の実現値を計算する.
    ここで $\mu_{0}=12$ より,実現値は $t_{0}=\frac{\sqrt{n}(\overline{x}-\mu_{0})}{\sqrt{v}}\approx 2.28$ である.また,危険度5%だから $\alpha=0.05$ であり, $t\left(n-1;\frac{\alpha}{2}\right)=2.2262$ を得る.
    ゆえに, $|t_{0}|\ge t\left(n-1;\frac{\alpha}{2}\right)$ が成立する.
    (解答) 仮説 $H_{0}$ は棄却される.