ベクトル解析学(2007年度前期)

2007/4/17

問題

a=(123),b=(121) のとき,次を計算せよ.

  1. ab
  2. (a+b)(ab)
  3. a×b
  4. (a+b)×(ab)
  5. (a+b)(a+b)
解答

a+b=(204),ab=(042) である.

  1. abt=(123)(121)
    (解答) 0
  2. (a+b)(ab)t=(204)(042)
    (解答) 8
  3. (|2321||3111||1212|)
    (解答) (824)
  4. (|0442||4220||2004|)
    (解答) (1648)
  5. (a+b)(a+b)t=(204)(204)
    (解答) 20

2007/4/24

問題

a=(121),b=(201),c=(123) のとき,次を計算せよ.

  1. [a,b,c]
  2. a×(b×c)
  3. (a×b)×c
  4. (a×b)×(b×c)
  5. (bc)(a×b)
解答

ab=3,bc=1,ac=2 を適宜用いる.

  1. (与式) =|121201123|
    (解答) 16
  2. (与式) =(ac)b(ab)c である.これを計算すれば良い.
    (解答) (1611)
  3. (与式) =(ac)b(bc)a である.これを計算すれば良い.
    (解答) (623)
  4. d=a×b=(214) とおき,前問と同様に計算する.
    (解答) (32016)
  5. (与式) =(bc)d である.
    (解答) (214)

2007/5/1

問題

a(t)=(t2+3tt2+14),b(t)=(53t+2t3) のとき,

  1. a(t),b(t) を求めよ.
  2. a(t)×b(t),a(t)×b(t) を求めよ.
  3. a(t)×b(t)dt,a(t)×b(t)dt を求めよ.
  4. a(t)×b(t)dt=a(t)×b(t)a(t)×b(t)dt を確かめよ.
解答
  1. a(t),b(t) の各成分を t で微分する.
    (解答) a(t)=(2t+32t0),b(t)=(033t2)
  2. a(t)×b(t)=(|2t03t+2t3||02t+3t35||2t+32t53t+2|),a(t)×b(t)=(|t2+1433t2||4t2+3t3t20||t2+3tt2+103|) を計算する.
    (解答) a(t)×b(t)=(2t42t43t36t2+3t+6),a(t)×b(t)=(3t4+3t2123t49t33t2+9t)
  3. 前問のベクトル関数を,成分ごとに t で積分する.
    (解答) a(t)×b(t)dt=(25t5+c125t534t4+c22t3+32t2+6t+c3),a(t)×b(t)dt=(35t5+t312t+c435t594t4+c5t3+92t2+c6)
  4. これまでの結果と, a(t)×b(t)=(t5+t312t8t53t4203t3+6t2+6t+5) から,右辺を計算すると (25t28c425t234t420c52t3+32t2+6t+5c6) となる.
    積分定数について c1=8c4,c2=20c5,c3=5c6 と考えられるので,左辺と右辺の式が一致する.(証明終)

2007/5/8

問題1

r(t)=(acostasintct) 0t2π の部分の長さ l を求めよ.

解答1

r(t)=(x(t)y(t)z(t)) と考えると, l=02π{x(t)}2+{y(t)}2+{z(t)}2dt と計算される.
(解答) 2πa2+c2

2007/5/22

問題

r=(xyz) r=x2+y2+z2 のとき,次を計算せよ.

  1. rx,ry,rz
  2. r
  3. logr
  4. 1r

解答
  1. s=x2+y2+z2 とおくと, r=s だから, rx=drdssx,ry=drdssy,rz=drdssz となる.
    (解答) rx=xx2+y2+z2,ry=yx2+y2+z2,rz=zx2+y2+z2
  2. r=rr=(rxryrz)
    (解答) (xx2+y2+z2yx2+y2+z2zx2+y2+z2)
  3. ddrlogr=1r より, logr=rr2 である.
    (解答) (xx2+y2+z2yx2+y2+z2zx2+y2+z2)
  4. ddr1r=1r2 より, 1r=rr3 である.
    (解答) (x(x2+y2+z2)3y(x2+y2+z2)3z(x2+y2+z2)3)

2007/5/29

問題1

次のベクトルの発散を求めよ.

  1. r=(xyz)
  2. E=(xyzyzxzxy)
解答1
  1. divr=xx+yy+zz=1+1+1
    (解答) 3
  2. divE=xxyz+yyzx+zzxy=1yz+1zx+1xy
    (解答) x+y+zxyz
問題2

スカラー関数 φ(x,y,z),ψ(x,y,z) に対して, div(φ×ψ)=0 を証明せよ.

解答2

φ=(φ(x)φ(y)φ(z)),ψ=(ψ(x)ψ(y)ψ(z)) とおくと, φ×ψ=(φ(y)ψ(z)φ(z)ψ(y)φ(z)ψ(x)φ(x)ψ(z)φ(x)ψ(y)φ(y)ψ(x)) である.

ここで, xφ(y)ψ(z)φ(z)ψ(y)=yφ(z)ψ(x)φ(x)ψ(z)=zφ(x)ψ(y)φ(y)ψ(x)=0 より, div(φ×ψ)=0 となる.(証明終)

2007/6/5

問題1

a=(yzzxxy) の回転を求めよ.

解答1

rota=(|yzzxxy||zxxyyz||xyyzzx|)=(yxyzzxzyzxxyxzxyyz)=(xxyyzz)

(解答) 0

問題2

b=(b1(x,y,z)b2(x,y,z)b3(x,y,z)) について,

  1. rotb を求めよ.
  2. div(rotb)=0 を確かめよ.
解答2
  1. (解答) (yb3(x,y,z)zb2(x,y,z)zb1(x,y,z)xb3(x,y,z)xb2(x,y,z)yb1(x,y,z))
  2. x(yb3(x,y,z)zb2(x,y,z))+y(zb1(x,y,z)xb3(x,y,z))+z(xb2(x,y,z)yb1(x,y,z))
    =(2xyb3(x,y,z)2yxb3(x,y,z))+(2xzb2(x,y,z)2zxb2(x,y,z))+(2yzb1(x,y,z)2zyb1(x,y,z))=0 (証明終)

2007/6/12

問題

次の微分式を指示した曲線に沿った線積分を行え.

  1. Cydx+xdyx2+y2 C x2+y2=1 の周を正の向きに一周する閉曲線; x=cosθ,y=sinθ とおく)
  2. Cydxxdy+zdz C はつるまき線; x=cost,y=sint,z=t 0t2π
解答
  1. dx=sinθdθ,dy=cosθdθ に注意して,問題文の指示通りに代入すると,
    Csinθ(sindθ)+cosθ(cosdθ)cos2θ+sin2θ=Ccos2θ+sin2θcos2θ+sin2θdθ=Cdθ を得る.
    C は円だから 0θ2π Cdθ=02πdθ=[θ]02π=2π となる.
    (解答) 2π
  2. dx=sintdt,dy=costdt,dz=dt に注意して与式に代入すると, C(sin2t+cos2tt)dt を得る.
    sin2t+cos2t=1,0t2π だから, C(1t)dt=02π(1t)dt=[tt22]02π=2π(π1) となる.
    (解答) 2π(π1)